1. Bài của tác giả Phan Đức Chính - đề IMO năm 1977
Bài Toán được chọn làm câu số 2 trong đề thi Olympic Toán quốc tế năm 1977 của tác giả Phan Đức Chính như sau:
“In a finite sequence of real numbers, the sum of any seven successive terms is negative, and the sum of any eleven successive terms is positive. Determine the maximum number of terms in the sequence”.
Dịch:
Trong một dãy hữu hạn các số thực, tổng của 7 số hạng liên tiếp bất kỳ luôn là số âm và tổng của 11 số hạng liên tiếp bất kỳ là số dương. Xác định số lượng số hạng tối đa của dãy số.
Bài Toán của PGS Phan Đức Chính trong đề thi IMO năm 1977, được Viện Nghiên cứu cao cấp về Toán trình bày lại trong một hội thảo mới đây.
Cố PGS.TS Phan Đức Chính (1936 - 2017) là một trong những giáo viên đầu tiên của lớp chuyên Toán A0, Trường ĐH Tổng hợp (nay là lớp chuyên Toán, Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, thuộc Trường ĐH Khoa học Tự nhiên - ĐH Quốc gia Hà Nội).
Ông đã tham gia đào tạo nhiều học sinh giỏi được huy chương Toán quốc tế; từng là phó đoàn, trưởng đoàn Việt Nam tham dự IMO. Ông cũng là người đã viết, dịch nhiều giáo trình Toán học kinh điển ở Việt Nam.
2. Bài Toán của tác giả Văn Như Cương - đề IMO năm 1982
Bài toán được chọn làm câu số 6 trong đề thi Olympic Toán quốc tế năm 1982 của tác giả Văn Như Cương như sau:
“Let S be a square with side length 100. Let L be a path within S which is composed of line segments A0A1, A1A2, A2A3..., A(n-1)An with A0 ≠ An. Suppose that for every point P on the boundary of S there is a point of L at a distance from P no greater than 1/2. Prove that there are two points X and Y of L such that the distance between X and Y is not greater than 1 and the length of the part of L which lies between X and Y is not smaller than 198”.
Dịch:
Cho S là hình vuông với cạnh là 100. L là một đường gấp khúc không tự cắt tạo thành từ các đoạn thẳng A0A1, A1A2..., A(n-1)An với A0 ≠ An. Giả sử với mỗi điểm P nằm trên chu vi của S đều tồn tại một điểm thuộc L cách P không quá 1/2.
Chứng minh rằng: Tồn tại 2 điểm X và Y thuộc L sao cho khoảng cách giữa X và Y không vượt quá 1, và độ dài đường gấp khúc L nằm giữa X và Y không nhỏ hơn 198.
Bài toán của cố PGS Văn Như Cương trong đề thi IMO năm 1982.
Bài Toán của cố PGS Văn Như Cương năm 1982 được đánh giá không chỉ rất khó mà còn độc đáo. Theo GS Trần Văn Nhung, nguyên Thứ trưởng Bộ GD-ĐT, nhiều nước muốn loại bài này ra khỏi đề thi nhưng chủ tịch IMO năm đó đã quyết định giữ lại và khen “rất hay”.
Tuy nhiên, bài Toán trong đề thi chính thức đã được sửa điều kiện. Các dữ liệu đậm tính văn thơ với "ngôi làng", "dòng sông" trong đề gốc cũng được chuyển thể thành ngôn ngữ đậm chất Toán học hơn.
Tại hội thảo kỷ niệm 50 năm Việt Nam tham dự kỳ thi Olympic Toán học quốc tế (1974 - 2024) mới đây, GS Ngô Bảo Châu cũng đánh giá bài Toán của thầy Văn Như Cương là một trong những bài hay và thú vị nhất lịch sử IMO.
Cố PGS.TS Văn Như Cương (1937-2017) là một nhà giáo, nhà biên soạn sách giáo khoa phổ thông và giáo trình đại học bộ môn hình học, Ủy viên Hội đồng giáo dục quốc gia Việt Nam. Ông cũng là người sáng lập nên trường dân lập đầu tiên tại Việt Nam là Trường THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội).
Bài Toán gốc của PGS.TS Văn Như Cương:
Ngày xưa có một ngôi làng hình vuông mỗi cạnh dài 100 km. Có một con sông chạy ngang quanh làng. Bất cứ điểm nào trong làng cũng cách con sông không quá 0,5 km.
Hãy chứng minh rằng có hai điểm trên sông có khoảng cách đường chim bay không quá 1 km, nhưng khoảng cách dọc theo dòng sông không nhỏ hơn 198 km. (Giả sử lòng sông rộng không đáng kể).
3. Bài Toán của tác giả Nguyễn Minh Đức - đề IMO năm 1987
Bài Toán được chọn làm câu số 4 trong đề thi Olympic Toán quốc tế năm 1987 của tác giả Nguyễn Minh Đức như sau:
“Prove that there is no function f from the set of non-negative integers into itself such that f(f(n)) = n + 1987 for every n”.
Dịch:
Chứng minh rằng không tồn tại hàm f xác định trên tập số nguyên không âm, thỏa mãn điều kiện f(f(n)) = n + 1987 với mọi n.
Bài toán của TS Nguyễn Minh Đức trong đề thi IMO năm 1987.
TS Nguyễn Minh Đức là cựu học sinh Trường THPT Chuyên Khoa học Tự nhiên, từng giành Huy chương Bạc tại IMO năm 1975. Trước khi nghỉ hưu, TS Đức nguyên là cán bộ nghiên cứu của Viện Công nghệ thông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam.
Các thế hệ học sinh dự thi Olympic Toán quốc tế cùng các thầy cô, chuyên gia, đại biểu chụp ảnh tại hoạt động kỷ niệm 50 năm Việt Nam tham dự IMO trong khuôn viên Viện Nghiên cứu cao cấp về Toán.
Kỳ thi Olympic Toán học quốc tế (IMO) được tổ chức thường niên kể từ năm 1959. Việt Nam bắt đầu tham gia sân chơi này từ năm 1974.
Theo quy trình, trước kỳ thi, trưởng đoàn của mỗi nước sẽ tập hợp các bài Toán đề nghị rồi gửi ban chọn đề của nước đăng cai tổ chức kỳ thi. Tác giả của các bài Toán từ mỗi nước không nhất thiết phải là người trong đoàn mà chỉ cần là người của nước đó.
Thông thường, mỗi năm có hơn 100 bài được gửi đề nghị. Nước đăng cai kỳ thi sẽ chọn ra danh sách rút gọn khoảng 30 bài. Trước khi kỳ thi diễn ra vài ngày, trưởng đoàn các nước sẽ bỏ phiếu để chọn ra 6 bài chính thức cho đề thi năm đó.
Môn thi cuối cùng của kỳ tuyển sinh lớp 10 - 2025 diễn ra sáng nay với tâm thế quyết tâm từ các sĩ tử Hà Nội.
Một thí sinh vi phạm quy chế thi lớp 10 Hà Nội năm 2025 trong ngày thi đầu tiên với lý do mang điện thoại vào phòng thi.
Trường ĐH Khoa học Xã hội và Nhân văn – ĐHQG Hà Nội đã quyết định bổ sung tổ hợp truyền thống C00 (Ngữ văn, Lịch sử, Địa lý) cho 17 ngành đào tạo trong mùa tuyển sinh 2025.
Thủ tướng Phạm Minh Chính ban hành chỉ thị về tổ chức dạy học 2 buổi/ngày và tổ chức sinh hoạt hè cho trẻ em, học sinh đảm bảo an toàn, bổ ích, trong đó tập trung giáo dục văn hóa, nghệ thuật, thể chất, kỹ năng sống, năng lực tiếng Anh,...
Đề Ngữ văn thi vào lớp 10 của Hà Nội được đánh giá đã xoá bỏ hoàn toàn định hướng văn mẫu, giúp học sinh được thể hiện đúng năng lực cá nhân.
Hơn 103.000 thí sinh Hà Nội bắt đầu làm thủ tục thi lớp 10 công lập, mở màn cho kỳ tuyển sinh với tỷ lệ chọi gắt gao nhất cả nước.
GĐXH - Thời gian thi cần tập trung học nhiều, đặc biệt là thi đại học và thi chuyển cấp. Có nhiều bạn còn học cả đêm, ít ngủ, ăn uống không đầy đủ... đây là nguyên nhân dẫn đến kiệt sức. Cùng tìm hiểu thêm nguyên nhân và cách khắc phục trong bài viết sau.
Cho rằng, đề thi môn Toán năm nay sẽ có nhiều điểm mới, các câu hỏi có tình huống thách thức học sinh, thầy Trần Mạnh Tùng, giáo viên dạy Toán tại Hà Nội chia sẻ bí kíp để đạt điểm 10 môn Toán trong kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT.
9h sáng nay (6/5), gần 104.000 thí sinh của Hà Nội đến các điểm thi làm thủ tục dự thi lớp 10 năm học 2025-2026. Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 năm học 2025-2026 sẽ diễn ra trong hai ngày 7 và 8/6.
Bộ GD&ĐT yêu cầu các trường đại học từng thông báo bỏ xét tuyển tổ hợp khối C00, khẩn trương điều chỉnh lại, tránh ảnh hưởng tới thí sinh.
GĐXH - Trước phản ánh một giáo viên có lời lẽ thiếu tôn trọng thí sinh tại Hội đồng thi Trường THPT Nam Đàn 2, huyện Nam Đàn (Nghệ An) trong kỳ thi vào lớp 10, sáng nay (4/6), Hội đồng thi đã đình chỉ giáo viên này và thay bằng người khác để tiếp tục coi thi.
