1. Bài của tác giả Phan Đức Chính - đề IMO năm 1977
Bài Toán được chọn làm câu số 2 trong đề thi Olympic Toán quốc tế năm 1977 của tác giả Phan Đức Chính như sau:
“In a finite sequence of real numbers, the sum of any seven successive terms is negative, and the sum of any eleven successive terms is positive. Determine the maximum number of terms in the sequence”.
Dịch:
Trong một dãy hữu hạn các số thực, tổng của 7 số hạng liên tiếp bất kỳ luôn là số âm và tổng của 11 số hạng liên tiếp bất kỳ là số dương. Xác định số lượng số hạng tối đa của dãy số.
Bài Toán của PGS Phan Đức Chính trong đề thi IMO năm 1977, được Viện Nghiên cứu cao cấp về Toán trình bày lại trong một hội thảo mới đây.
Cố PGS.TS Phan Đức Chính (1936 - 2017) là một trong những giáo viên đầu tiên của lớp chuyên Toán A0, Trường ĐH Tổng hợp (nay là lớp chuyên Toán, Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, thuộc Trường ĐH Khoa học Tự nhiên - ĐH Quốc gia Hà Nội).
Ông đã tham gia đào tạo nhiều học sinh giỏi được huy chương Toán quốc tế; từng là phó đoàn, trưởng đoàn Việt Nam tham dự IMO. Ông cũng là người đã viết, dịch nhiều giáo trình Toán học kinh điển ở Việt Nam.
2. Bài Toán của tác giả Văn Như Cương - đề IMO năm 1982
Bài toán được chọn làm câu số 6 trong đề thi Olympic Toán quốc tế năm 1982 của tác giả Văn Như Cương như sau:
“Let S be a square with side length 100. Let L be a path within S which is composed of line segments A0A1, A1A2, A2A3..., A(n-1)An with A0 ≠ An. Suppose that for every point P on the boundary of S there is a point of L at a distance from P no greater than 1/2. Prove that there are two points X and Y of L such that the distance between X and Y is not greater than 1 and the length of the part of L which lies between X and Y is not smaller than 198”.
Dịch:
Cho S là hình vuông với cạnh là 100. L là một đường gấp khúc không tự cắt tạo thành từ các đoạn thẳng A0A1, A1A2..., A(n-1)An với A0 ≠ An. Giả sử với mỗi điểm P nằm trên chu vi của S đều tồn tại một điểm thuộc L cách P không quá 1/2.
Chứng minh rằng: Tồn tại 2 điểm X và Y thuộc L sao cho khoảng cách giữa X và Y không vượt quá 1, và độ dài đường gấp khúc L nằm giữa X và Y không nhỏ hơn 198.
Bài toán của cố PGS Văn Như Cương trong đề thi IMO năm 1982.
Bài Toán của cố PGS Văn Như Cương năm 1982 được đánh giá không chỉ rất khó mà còn độc đáo. Theo GS Trần Văn Nhung, nguyên Thứ trưởng Bộ GD-ĐT, nhiều nước muốn loại bài này ra khỏi đề thi nhưng chủ tịch IMO năm đó đã quyết định giữ lại và khen “rất hay”.
Tuy nhiên, bài Toán trong đề thi chính thức đã được sửa điều kiện. Các dữ liệu đậm tính văn thơ với "ngôi làng", "dòng sông" trong đề gốc cũng được chuyển thể thành ngôn ngữ đậm chất Toán học hơn.
Tại hội thảo kỷ niệm 50 năm Việt Nam tham dự kỳ thi Olympic Toán học quốc tế (1974 - 2024) mới đây, GS Ngô Bảo Châu cũng đánh giá bài Toán của thầy Văn Như Cương là một trong những bài hay và thú vị nhất lịch sử IMO.
Cố PGS.TS Văn Như Cương (1937-2017) là một nhà giáo, nhà biên soạn sách giáo khoa phổ thông và giáo trình đại học bộ môn hình học, Ủy viên Hội đồng giáo dục quốc gia Việt Nam. Ông cũng là người sáng lập nên trường dân lập đầu tiên tại Việt Nam là Trường THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội).
Bài Toán gốc của PGS.TS Văn Như Cương:
Ngày xưa có một ngôi làng hình vuông mỗi cạnh dài 100 km. Có một con sông chạy ngang quanh làng. Bất cứ điểm nào trong làng cũng cách con sông không quá 0,5 km.
Hãy chứng minh rằng có hai điểm trên sông có khoảng cách đường chim bay không quá 1 km, nhưng khoảng cách dọc theo dòng sông không nhỏ hơn 198 km. (Giả sử lòng sông rộng không đáng kể).
3. Bài Toán của tác giả Nguyễn Minh Đức - đề IMO năm 1987
Bài Toán được chọn làm câu số 4 trong đề thi Olympic Toán quốc tế năm 1987 của tác giả Nguyễn Minh Đức như sau:
“Prove that there is no function f from the set of non-negative integers into itself such that f(f(n)) = n + 1987 for every n”.
Dịch:
Chứng minh rằng không tồn tại hàm f xác định trên tập số nguyên không âm, thỏa mãn điều kiện f(f(n)) = n + 1987 với mọi n.
Bài toán của TS Nguyễn Minh Đức trong đề thi IMO năm 1987.
TS Nguyễn Minh Đức là cựu học sinh Trường THPT Chuyên Khoa học Tự nhiên, từng giành Huy chương Bạc tại IMO năm 1975. Trước khi nghỉ hưu, TS Đức nguyên là cán bộ nghiên cứu của Viện Công nghệ thông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam.
Các thế hệ học sinh dự thi Olympic Toán quốc tế cùng các thầy cô, chuyên gia, đại biểu chụp ảnh tại hoạt động kỷ niệm 50 năm Việt Nam tham dự IMO trong khuôn viên Viện Nghiên cứu cao cấp về Toán.
Kỳ thi Olympic Toán học quốc tế (IMO) được tổ chức thường niên kể từ năm 1959. Việt Nam bắt đầu tham gia sân chơi này từ năm 1974.
Theo quy trình, trước kỳ thi, trưởng đoàn của mỗi nước sẽ tập hợp các bài Toán đề nghị rồi gửi ban chọn đề của nước đăng cai tổ chức kỳ thi. Tác giả của các bài Toán từ mỗi nước không nhất thiết phải là người trong đoàn mà chỉ cần là người của nước đó.
Thông thường, mỗi năm có hơn 100 bài được gửi đề nghị. Nước đăng cai kỳ thi sẽ chọn ra danh sách rút gọn khoảng 30 bài. Trước khi kỳ thi diễn ra vài ngày, trưởng đoàn các nước sẽ bỏ phiếu để chọn ra 6 bài chính thức cho đề thi năm đó.
Cập nhật lịch công bố điểm thi, điểm chuẩn tuyển sinh vào lớp 10 năm 2026 mới nhất của Hà Nội, TP.HCM và các tỉnh thành trên cả nước chính xác và nhanh chóng nhất.
GĐXH - Bất chấp thời tiết khắc nghiệt và áp lực tiến độ, hàng nghìn kỹ sư, công nhân vẫn bám công trường, tăng ca ngày đêm để đẩy nhanh thi công 10 trường nội trú liên cấp tại khu vực biên giới Nghệ An. Cuộc đua hoàn thành các hạng mục đang được đẩy lên cao điểm nhằm đưa công trình vào sử dụng trước năm học mới, đáp ứng kỳ vọng của học sinh và người dân vùng biên.
GĐXH - Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên (Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội) đã công bố kết quả thi và điểm chuẩn của 5 khối chuyên, năm 2026.
GĐXH - Từ ngày 15/7/2026, học sinh trường phổ thông nội trú và trường phổ thông nội trú tại các xã biên giới đất liền được hưởng chính sách ưu đãi theo Nghị định 188/2026/NĐ-CP.
Sở GD&ĐT TP.HCM thông tin, có hơn 600 thí sinh vắng trong buổi thi Văn kỳ thi vào lớp 10 sáng nay 1/6.
Sau khi chính thức khép lại kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT công lập năm học 2026-2027, lịch trình chấm thi, công bố điểm và xác nhận nhập học trở thành mối quan tâm hàng đầu của gần 124.000 thí sinh Thủ đô.
Kết quả bài thi không như ý khiến nhiều sĩ tử không kìm được nước mắt sau khi kết thúc bài thi môn Toán.
Dù đề thi vừa sức, áp lực chọi lớp 10 Hà Nội vẫn khiến sĩ tử bật khóc, buộc nhiều cha mẹ phải lo sẵn “kế hoạch B” trường tư, học nghề để giảm tải căng thẳng cho con.
Sáng nay 31/5, hơn 124.000 thí sinh Hà Nội bước vào làm bài thi môn Toán, môn thi cuối cùng khép lại kỳ tuyển sinh vào lớp 10 công lập năm học 2026 - 2027 đầy áp lực.
Trong những năm gần đây, xu hướng định hướng nghề nghiệp sớm sau khi tốt nghiệp THCS đang nhận được sự quan tâm lớn từ cả phụ huynh và học sinh.
GĐXH - Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên (Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội) đã công bố kết quả thi và điểm chuẩn của 5 khối chuyên, năm 2026.
